ローレンツアトラクタとカオス

こんにちは.TRSasasusu です.

記事を更新していないだけで,KCS は活動しています.新歓の準備も進んでいるようです.

さて,自分は生命情報学科に所属していますが,この前のレポートにてカオスで遊んだので,今回はその話をします.

スクリーンショット 2018-02-01 15.46.11

これはローレンツ方程式(↓の式)のアトラクタです.この軌道に沿って点が移動していきます.


\begin{align}
\frac{dx}{dt} &= -\sigma x + \sigma y \\
\frac{dy}{dt} &= -xz + rx -y \\
\frac{dz}{dt} &= xy – bz
\end{align}

特にこのようなフラクタル構造を持つアトラクタはストレンジアトラクタと呼ばれ,カオスを生み出します.蝶の羽みたいで美しいですね.

そして,パラメータ(今回は \(\sigma,\ r,\ b\))を変化させると,カオスになったりならなかったりします.これを表すのが分岐図です.

スクリーンショット 2018-02-01 16.07.43

なんかすごいですね.そして,カオスを定量的に表すのがリアプノフ指数(多次元でまとめたものがリアプノフスペクトラム)です.力学系を表すヤコビ行列を時系列順に並べて QR 分解して(時刻 \(0\) では時刻 \(0\) のヤコビ行列のみを,それ以降ではヤコビ行列に前時刻の \(Q\) を右から掛けたものをそれぞれ QR 分解する),各時刻の \(R\) のそれぞれの対角要素の \(\log\) をとって全部足し合わせて \(N\) で割ると,以下のようになります.

スクリーンショット 2018-02-02 1.06.55

1 つでも正のリアプノフ指数があればカオスとなるようなので,この結果は分岐図のものと一致していますね.

最後に,ストレンジアトラクタの動画を載せて終わりにします(動画はレポートには載せられない).

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