モンティ・ホール問題を解く


モンティ・ホール問題を確率の議論を使って,解いてみましょう.
次の確率変数を定義します.
\[x_1:ドアX(X=A,B,C)に新車がある確率変数\]
\[x_2:ドアX(X=A,B,C)をプレイヤーが選ぶ確率変数\]
\[x_3:ドアX(X=A,B,C)を司会者が選ぶ確率変数\]
モンティホール問題で解かなければならないのは,次式
\[\sum_{x_1=x_2}P(x_1|x_2,x_3),\sum_{x_1\neq x_2}P(x_1|x_2,x_3)\]
の大小であるといえます.言葉で説明すると,
左は,プレイヤーが選んでいたドアをそのまま選ぶときに新車を手に入れる確率であり,
右は,プレイヤーが選んでいたドアではないドアを選ぶときに新車を手に入れる確率です.
これを解くためには,条件付き分布
\[P(x_1|x_2,x_3)\]
の大きさの比がわかればよいです.
ここで
\[P(x_1|x_2,x_3)\propto^{ベイズ} P(x_3|x_2,x_1)P(x_1|x_2)\propto^{ベイズ} P(x_3|x_2,x_1)P(x_2|x_1)P(x_1)\]
\[\propto^{条件付き独立} P(x_3|x_2,x_1)P(x_2)P(x_1)\propto^{定数} P(x_3|x_2,x_1)\]
が成り立つので,結局,\(P(x_3|x_2,x_1)\)がわかればよいということになりますね.
ここで,\(P(x_3|x_2,x_1)\)を書き下すと,
\[x_1=x_3で0,x_2=x_3で0,それ以外でx_2=x_1で1/2,x_2\neq  x_1で1\]
が成り立つので,結局,
\[\sum_{x_1=x_2}P(x_1|x_2,x_3):\sum_{x_1\neq x_2}P(x_1|x_2,x_3)=1/2\times 6:1\times 6=1:2\]
となり,プレイヤーが選んでいたドアではないドアを選ぶときに新車を手に入れる確率のほうが,プレイヤーが選んでいたドアをそのまま選ぶときに新車を手に入れる確率の2倍であることが示せました.
数式で扱うとモンティ・ホール問題も簡単に解けますね.

以上.

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