モンティ・ホール問題

読者の方は「モンティ・ホール問題」という有名な問題をご存知だろうか。

ヤギ

『プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会者(モンティ)が残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?』Wikipedia(モンティ・ホール問題)

という問題だ。

僕はこの前『終物語』で初めて知って、だからこんな口調で書いているのだけれど、読者の方はこの問題に正確な答えをだすことができるだろうか。

僕は回りくどいのは嫌いなので、答えから言ってしまおう。

答、変更する方がよい

厳密にいえば変更した場合のほうが確率が二倍おおきい。

一見すると、司会者は残り二つのうちのはずれの一つを見せているだけだから、残りの自分の選んだ扉と選ばなかった扉は互いに等しい確率で当たるように見えるが、実はそうでないというこの答えはかなり興味深いものがある。

実際なぜこの問題が有名なのかというと、実はあるコラムに投稿されたこの質問に対する先ほどの答えがたくさんの批判にさらされたことにある。

この批判したものの中には数学博士もいたというから驚きだ。そのような専門家ですら、人間としての直感が強く働いてしまったのかもしれない。

ここで、何故変更するほうが良いのか少し解説しよう。

場合に分けて考える。

1、プレーヤーが最初に当たりの扉を選んだ場合
2、プレーヤーが最初にハズレの扉を選んだ場合

1のとき残りの二つの扉はどちらもハズレである。だから、司会者が開けていない方の扉ももちろんハズレで、当たり前だが、この場合変更するべきでないという答え導かれる。

2のとき、残り二つのうち一つは当たりの扉でもう一方はハズレだから、司会者が明けていない方の扉は当たりとなる。だからこの場合変更すれば当たりの扉を選べるので、変更すべきだ。

つまり最初にあたりを選べれば変更せず、選べなければ変更しないそうすべきだ。ここで、最初に当たりを選べる確率は1/3で、ハズレを選ぶ確率は2/3だから結局のところ1/3の確率で変更しない方がよく、2/3の確率で変更する方がよい。

よって、先ほどの答え「変更する方がよい」という答えが導かれる。

ここまでの説明を聞いても違和感のぬぐえない、あまりの意外性に謎が深まるばかりになってしまっているんじゃないかと思う。

実際、当の僕もその違和感がなぜ生まれるのか、なぜ直感がはずれたのかという謎に取りつかれてしまった。

「何故、人間(僕)の直感が誤っているのだろうか」

それを考えるには「直感」とはなんだったかを厳密に考える必要がある。

この問題での直感とはこうだ。

「まず自分の選んだ扉の当たる確率は1/3だ。次に、司会者が扉を開けてハズレの扉が一つ空いたところで、残りの二つ自分の選んだ扉と選ばなかった扉のどちらかに当たりがあるはずだからどちらの扉も確率は1/2だから変更することに意味はない」

こうして見てみると、直感も悪くなさそうにも見えるけれど、やはり違う。

まぁ、これぞと言わんばかりに赤字にしてあるから、わざわざ言うのもなんだけど、ここが間違っていた。

まず、落ち着いて考えてみよう赤字前の状況、つまり司会者が扉を開けた直後では、確かに二つの扉があって、そのどちらかが当たりなのだけれど、だからと言ってその二つの扉が等確率であると誰も言っていないはずだ。

そう、そこから直感は間違っていた。

要は二つの扉のうち自分の選んだ方は最初の1/3のままで、もう一方のほうが2/3な訳で、確かにこの場合でも二つのうちどちらかが当たりだ。当たり前のことだけど、それがわからない。

なぜか

人間には「比率を保存して考える」という性質があるという説がある。

例えば今回扉はすべて等確率であたりが入っていたけれど、もし扉1が0.1 、扉2が0.4 、扉3が0.5の確率で当たるとしよう。
すると、もし扉1を選んで、司会者が扉3を開いたとすると人間は0.1:0.4という比率を保存して、0.2、0.8と扉1,2それぞれに対して確率を割り振ってしまう。

「そんな馬鹿な考え方はするのは君だけだよ」、「自分はそうは思えない」なんて言葉も聞こえてきそうだけど、もしさっき書いた場合分けの考え方が使えないとしたら、読者の方々は扉1,2の確率はどうであるか答えられるだろうか。

人間の直感は往々にしてよく当たり、人間の神秘でもあるし、これが科学の発展に貢献してきたことは言うまでもないことだろう。けれど、この直感という理屈抜きの曖昧なものはたまに人間をおかしな選択に導く。勿論、そのことは今まで知らなかった訳じゃないし、むしろその方が自然に感じる。しかし、直感が間違っているというのは直感的にも理解しやすいのは中々皮肉なんじゃないだろうか。

参考

http://the-apon.com/coffeedonuts/index.html

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